Modelagem Matemática como Metodologia de Ensino

Aprender matemática não significa receber todos os conceitos prontos, pois, a aprendizagem em matemática refere-se a um trabalho de pensamento de cada indivíduo para a construção desses conceitos. Assim, deve-se colocar novas situações-problema com base nos conceitos que foram construídos anteriormente, para a generalização, para a estruturação ou desestrutração do universo matemático, com vistas à compreensão e resolução de problemas, que podem ser matemáticos ou relacionados a realidade de cada indivídulo. Para isso, a atividade intelectual do aluno deve, quando possível, aproximar-se daquela feitas pelos matemáticos ou cientistas, ao longo de nossa história, ou seja, partindo de uma situação-problema, colocando suas hipóteses, testando-as, corrigindo-as, fazendo transferências e generalizando. Não podemos aceitar que a atividade intelectual do aluno seja baseada exclusivamente na memorização e na aplicação de conhecimentos, cujo verdadeira significado ou sentido não foi apropriado pelo aluno.

A concepção etnomatemática do professor no ensino–aprendizagem em matemática é a de mediador da aprendizagem, sendo portanto, uma tarefa muito mais ampla do que um simples “doador” do saber. A concepção etnomatemática do aluno nesta abordagem é a de colaborador ativo do processo de aprendizagem, tarefa muito mais estimulante do que um simples “receptor” do saber. Porém, os alunos não farão tudo sozinhos, pois precisamos organizar situações de aprendizagem que os levem à formação de conceitos, que os desafiem a procurar respostas, que dê condições para que eles se envolvam com a matemática, para que possam desafiá-la, compreendê-la e interpretá-la, tornando-a dessa forma um produto da criação humana.

Reincorporando a historicidade dos conceitos matemáticos pela Etnomatemática, refletindo sobre os processos pelos quais eles foram elaborados e demonstrando como eles se desenvolveram, devemos a partir deste momento, mostrar a presença da matemática no cotidiano de cada aluno e nos processos de desenvolvimento da humanidade, para que ela possa ser concreta, com sentido e significado, surgindo dessa maneira a motivação necessária para aprendê-la. Dessa maneira, a matemática passa a ter como objetivo a busca de explicações e maneiras de se lidar com a realidade. Assim, refletir sobre a nossa realidade passa a ser uma ação transformadora que procura reduzir o seu grau de complexidade, através da escolha de um sistema que possa representá-la. Esse sistema isolado, nos permite chegar a representações dessa realidade, elaborando estratégias que nos possibitem explicar, entender, manejar, refletir e analisar sobre este sistema. Este processo no qual se considera, analisa e faz reflexões sobre um sistema chama-se modelagem. As aplicações da modelagem se faz sempre através da realidade na qual o sistema que originou o modelo no qual efetuaremos análises e reflexões, está inserido. Devemos nos conscientizar que com a modelagem iremos trabalhar com aproximações da realidade sobre a qual estamos construindo as nossas representações. Porém, para que isto ocorra, é necessário que se faça pesquisas onde se estabeleça relações entre os sistemas e suas representações, através da análises e reflexões sobre os modelos, orientando-nos em nessa prática pedagógica.

A aprendizagem do aluno somente se torna realidade à medida que são incorporados os conhecimentos e conceitos matemáticos que serão essenciais para colaborar em sua atuação futura na sociedade, através da proposição de uma atividade pedagógica significativa e motivadora. Porém, essa incorporação não se dá com a simples adesão do professor ao trabalho proposto, pois esse programa tem por objetivo contribuir para a reflexão do aluno e para a comparação da sua própria experiência e realidade. A modelagem pode ser uma metodologia de ensino muito útil e se enquadra no programa etnomatemática, que inclui crítica, também a natureza histórica, sobre representações, que deve estar sempre subjacente ao processo de modelagem (D’Ambrosio, 1993).

O envolvimento do aluno no Programa Etnomatemática requer uma ação transformadora em seu íntimo e esta ação se manifesta quando se formulam questões e se estimulam respostas, pois elas podem instigar o aparecimento da investigação e consequentemente da modelagem, conectando os alunos com o conteúdo matemático que queremos que eles aprendam. Porém, este relacionamento não se configura no conteúdo, pois osa alunos se envolvem na questão quando eles percebem que o que estão fazendo tem algum significado para eles e, se esse significado se incorparar em seu íntimo, venceremos os obstáculos para que ocorra definitivamente esse envolvimento. Contudo, é essencial que auxiliemos os nossos alunos para que eles possam desenvolver determinadas atitudes e habilidades para o reconhecimento e a colocação de questões para eles mesmos. Dessa forma, devemos trabalhar com condições facilitadoras do envolvimento, tornando-o acessível aos alunos; deixando o ambiente propício ao diálogo, reduzindo as pressões para que as respostas sejam sempre corretas e ouvindo as suas argumentações; num clima em que os erros que possam surgir também façam parte desse processo de ensino-aprendizagem. Uma vez iniciados estes questionamentos, a modelagem se torna significativa e bons modelos podem ser elaborados e demonstrados. Dessa forma, os alunos podem aprender muito, com a aplicação da modelagem como metodologia de ensino e da etnomatemática como prática pedagógica.

Dessa forma, a modelagem pode produzir e desenvolver modelos que serão úteis para atuarem nos sistemas, podendo modificá-los através da tomada de decisão, após as devidas reflexões, discussões, análises e conclusão sobre os modelos apresentados.

Levando em consideração que todas os alunos são potencialmente ativos e que estão construindo significados que são retirados diariamente de sua realidade, não podemos desperdiçar essa energia e devemos canalizá-la para a elaboração das estruturas necessárias à construção do conhecimento matemático que queremos que eles dominem.

A Modelagem Matemática é o estudo de problemas ou situações reais como linguagem para a sua compreensão, simplificação e resolução com vistas para uma possível previsão ou modificação do objeto estudado (Bassanezi, 1994). A Modelagem Matemática como estratégia de ensino aprendizagem da matemática mostra-se eficaz pois valoriza o conhecimento e incentiva a atuação social dos alunos, enquanto que a Etnomatemática como Ação Pedagógica nos revela as potencialidades do ensino da matemática utilizando a modelagem como uma metodologia eficiente neste programa. Neste tipo de trabalho, a matemática passa a ser uma disciplina instrumental que deve ser adequadamente utilizada e desenvolvida com a utilização dos questionamentos e das inquietações que fazem parte do ambiente natural no qual os alunos estão inseridos.

A principal finalidade deste processo é desenvolver a capacidade de analisar e interpretar dados, testar hipóteses formuladas, criar modelos e verificar se eles são eficazes; dando condições para que os alunos possam entender um fenômeno e tenham condições de atuar para a sua transformação. Partindo deste princípio, a matemática deve ser vista como uma disciplina dinâmica em que o seu estudo tem uma importância fundamental, pois quando analisamos uma situação do ponto de vista matemático, o processo de ensino-aprendizagem é desencadeado, estimulando a abstração, a criação de novos instrumentos matemáticos e a formulação de novas teorias. Assim, a única maneira que temos de conduzir os alunos para a modelagem matemática, é expô-los a uma ampla variedade de problemas e a uma ampla variedade de modelos, que são interpretações matemáticas dos problemas, que por sua vez, são representações dos sistemas estudados.

A grande maioria das questões matemáticas são utilizadas para explicar ou fazer previsões sobre fenômenos que fazem parte de realidades e culturas diferentes; sendo utilizadas na representação destas situações e também para a a formulação dos modelos matemáticos necessários à sua compreensão. Porém, um modelo não significa somente um conjunto de variáveis que fazem representações qualitativas ou quantitativas sobre o sistema que será analisado. Assim, os modelos não são exatos. Então, devemos explorar todos os detalhes do modelo, examinando as hipóteses, checando as precisões, efetuando os ajustes necessários que tornem o modelo adequado e fazendo as previsões que consigam validar as hipóiteses. Não devemos abandonar os modelos porque eles são aproximados, pois em cada modelo encontramos um caminho para chegarmos a uma previsão e tomarmos uma decisão na melhoria do sistema abordado.

Podemos estabelecer uma diferença entre o substantivo modelo e o verbo modelar e como o relacionamento da palavra aprender entre eles é de suma importância. Considerando essas relções, podemos concluir que aprender um modelo consiste somente em aplicar as técnicas necessárias para solucionar os problemas matemáticos encontrados nos sistemas enquanto que aprender a modelar é um processo que procura verificar se os parâmetros que foram selecionados para a resolução dos modelos são adequados e como ocorre as implicações no interrelacionamento das seleções efetuadas nos sistemas com o estudo holístico da realidade. Não é possível explicar, conhecer, entender, manejar, lidar com a realidade fora do contexto holístico. Tem-se não mais que visões parciais e incompletas da realidade (D’Ambrosio, 1993). Dessa forma, não devemos confundir modelagem matemática com teorias ou técnicas para resolução de modelos matemáticos, pois estas podem ser memorizadas, aprendidas e posteriormente esquecidas, evitando dessa forma o desafio conceitual, o raciocínio lógico e crítico, que são essênciais ao processo de modelagem.

Modelagem Matemática: Uma Ferramenta para a Etnomatemática
Convém salientar que muitas vezes os dados obtidos na modelagem matemática são de natureza essencialmente etnomatemática., provenientes dos costumes de uma comunidade que os utiliza sem qualquer precoupação com a cientificidade de sua origem (Bassanezzi, 1994).

Existem dez passos básicos para começar a documentação em etnomatemática. Esta ferramenta funciona para a criação de um banco de dados ou arquivo de atividades que podem ser utilizadas numa perspectiva etnomatemática. Isto também nos permite verificar se uma certa atividade é etnomatemática em natura.

Os passos para se fazer modelagem matemática numa perspectiva etnomatemática são:

1) Escolha do Tema: há necessidade de se realizar o levantamento de possíveis temas de estudo a serem desenvolvidos pelos alunos. Estes temas podem ser: setores de produção, situações econômicas, políticas, sociedade, agricultura, educação, artes, saúde, etc ou podem ter origem etnomatemática. Os temas devem ser abrangentes para que eles possam propiciar questionamentos em várias direções. Uma vez selecionado o tema, os alunos são divididos em grupos que possuem o mesmo interesse de pesquisa. A escolha do tema deve ser orientado pelo professor, pois é importante que os alunos se envolvam no processo e se sintam motivados pelos temas e problemas que serão levantados. Tendo escolhido o tema, não se tem a noção exata do tipo de matemática que vai surgir. Assim, deve-se fazer pesquisas, contar ou medir, pois sempre aparecerá uma tabela de dados para que se possa dar início ao processo de modelagem.

2) Pesquisa sobre o tema: os participantes do grupo devem fazer visitas a vários locais como museus, indústrias, cooperativas, laboratórios, fazendas, universidades, bibliotecas, jornais e revistas, órgãos públicos, de acordo com as necessidades do tema escolhido, para buscar o entendimento do tema que irão estudar. A busca de novas informações devem ser realizadas utilizando-se referências bibliográficas colhidas em livros, revistas, internet, entrevistas ou através de experiências vivenciadas por culturas específicas. A pesquisa tem como objetivo a coleta de dados quantitativos e qualitativos que possam auxiliar na formulação das hipóteses. Estes conhecimentos devem ser analisados e interpretados como preparação dos modelos matemáticos que podem ou não ser baseados nas maneiras de se fazer matemática de determinados grupos culturais.

3) Elaboração de Questionamentos: os questionamentos propostos inicialmente pelos alunos são retirados das situações pesquisadas. São questões diretas cujas formulações são equivalentes aos conteúdos matemáticos que eles conhecem. De uma maneira geral, as primeiras questões colocadas são bastante simples, podendo ser solucionadas com a utilização de uma matemática considerada elementar. Inicialmente, essas questões não enfatizam a necessidade de se conhecer como as questões foram formuladas, o que foi considerado, rejeitado, e qual o relacionamento da questão com o tema. Existirá nesta fase, uma espécie de inibição para questionamentos maiores. Assim, a partir destes primeiros questionamentos, começa a ser feita uma ampliação das idéias que envolverão os alunos na procura de generalizações e analogias com situações correlatas.

4) Elaboracão dos Modelos Matemáticos: por sua natureza conceitual e abstrata, este estágio é muito importante, pois os alunos necessitam de grande ajuda do professor. Procede-se a interpretação dos dados colhidos na pesquisa de campo, sistematiza a coleta e analisa os dados. Nesta etapa elaboram-se questionários que serão utilizados como métodos específicos de amostragem. Posteriormente, efetua-se uma análise das relações entre as variáveis que são consideradas essenciais para o entendimento do fenômeno estudado, formulando as hipóteses, estabelendo desta forma os modelos matemáticos que usualmente são elaborados com a formulação de certos conteúdos matemáticos. Neste estágio, os pré-requisitos matemáticos devem ser trabalhados durante todo o processo. Se o modelo que está sendo analisado é para o aprendizado de um novo conteúdo matemático, é necessário que os alunos saibam o que se pretende com a análise do modelo, descrevendo todas as características que são importantes. Deve-se indicar também o porque certas características foram consideradas e outras foram rejeitadas. Esse procedimento é um aspecto conceitual importante do processo de modelagem, pois tem como objetivo desenvolver a criação de uma imagem mental da situação que está sendo modelada. Este aspecto permite aos alunos experienciá-la mentalmente, internalizando os conceitos necessários à aprendizagem.

5) Formulação dos Problemas Matemáticos: a formulação dos problemas matemáticos devem surgir em consequência de uma série de exemplos analisados pelo professor. O professor deve auxiliar os alunos no entendimento das questões relacionadas ao tema de pesquisa para serem resolvidos. O papel do professor é de mediador do processo, pois esclarece as dúvidas e sugere abordagens diferenciadas ao tema de estudo, num processo dialógico. Todos os questionamentos devem partir do grupo. O professor deve dinamizar o processo. Se as questões não surgirem, ele deve buscar um caminho que induza os alunos a buscarem os seus próprios problemas. A transferência da relação verbal (linguagem materna) em simbologia matemática é uma tarefa que exige um grande esforço por parte dos alunos. O professor deve dar uma atenção cuidadosa para a simbologia que os alunos conhecem, principalmente com relação aos símbolos padronizados, aos parâmetros ou para os dados fornecidos, direcionando os alunos para a formulação dos problemas matemáticos. A formulação de um problema em termos matemáticos é sempre o estágio mais difícil da modelagem. Esta fase deve ser enfrentada com o auxílio do professor e também com a criatividade dos alunos.

6) Resolução dos Problemas Matemáticos: esta fase é importante pois conduz para a tomada de decisão, e merece atenção especial, dada a sua importância no processo. Algumas vezes, o problema não precisa ser solucionado com exatidão. Assim, as suposições ou aproximações são frequentes e necessárias na resolução dos problemas. Devemos ser cuidadosos em não antecipar as dificuldades matemáticas que alunos possam ter, deixando que elas fluam naturalmente. É importante que não enfatizemos a resolução dos modelos matemáticos em torno de uma técnica particular ou de uma teoria específica. Nesta fase, os conceitos matemáticos que foram identificados na solução dos modelos matemáticos devem ser sistematizados.

7) Interpretação da Solução: as discussões devem ser incentivadas e constantes para que os componentes do grupo possam atingir o mesmo grau de compreensão na interpretação da solução dos modelos matemáticos. Os grupos devem trabalhar em seus projetos independentemente. O professor funciona como monitor dos grupos e quando constata problemas comuns e de interesse de todos os grupos, deve propor uma aula coletiva abordando o conteúdo necessário. A interpretação da solução matemática envolve a volta aos conceitos matemáticos que estão relacionados ao problema. A interpretação pode ser realizada de maneira analítica, gráfica ou algébrica.

8) Comparação do Modelo com a Realidade: nesta fase, faz-se a comparação do modelo matemático com o sistema analisado. A validação dos modelos deve ser o mais coerente possível com a realidade pesquisada. Se porventura o modelo não for bom, o sistema deve ser retomado com a elaboração de modelos mais significativos ou, se necessário, novas pesquisas devem ser efetuadas, tornando assim o processo dinâmico. Se o modelo for satisfatório, devemos procurar utilizá-lo para fazer previsões, análises ou qualquer outra forma de ação sobre a realidade. Um modelo é considerado bom se sua capacidade de previsão valida a solução do problema quando confrontado com a realidade.

9) Relatório e Defesa do Tema: no final de cada etapa, os grupos devem expôr os resultados da pesquisa para a classe, que pode colaborar com sugestões para a continuação ou modificação dos modelos. No final do processo, o trabalho deve ser exposto numa espécie de defesa de tese e cada grupo deve apresentar um relatório final onde devem constar os modelos criados para cada questionamento, as hipóteses e as devidas conclusões.

10) Avaliação: na apresentação e defesa do tema, os participantes dos demais grupos devem agir como uma espécie de banca examinadora. Este momento é importante, pois acontece a troca de experiências e críticas com o propósito da melhoria do projeto. Cada grupo é avaliado pelo seu desempenho e cada aluno é avaliado pelos elementos dos grupos, além da auto-avaliação. O professor também avalia as apresentações e os relatórios apresentados pelos grupos.

A Metodologia

Como metodologia de ensino, a modelagem matemática tem outros importantes objetivos. O principal deles é o desenvolvimento do interesse pela pesquisa dos dados que elaborará a documentação dos apectos etnomatemáticos de determinada comunidade ou grupo cultural. Esta pesquisa pode ser realizada através de uma atividade que seja atraente e que se relacione aos costumes dos alunos (modeladores). O modelador aprende a "fazer" matemática na medida em que faz e refaz os seus modelos, melhorando-os. O jogador de futebol atua como "modelador" pois aprende a jogar na medida em que treina e retreina as jogadas. Este processo é extremamente ativo e é uma poderosa forma de pesquisa. Isto significa que o desenvolvimento futuro de habilidades relacionadas com as pesquisas, classificações, criações e relatos de novas formas de levantamento de dados e informações devem utilizar este paradigma científico, pois a análise e a reflexão dos resultados dos modelos matemáticos traduzem situações que são interpretadas no mundo real. A aceitação do programa etnomatemática nas escolas somente ocorrerá se conseguimos fazer a conexão deste programa com alguns objetivos encontrados nos guias curriculares escolares, como por exemplo:

· A inclusão de novas formas de aprendizagem do conteúdo no planejamento.

· O encorajamento do aluno pesquisador na procura de estratégias alternativas.

· O estímulo para a colaboração com o trabalho em grupo.

· Preparar e desenvolver no aluno uma capacidade de aprendizado que seja útil num processo de educação permanente.

· Desenvolver nos alunos capacidades que os habilitem a refletir criticamente.

· Desenvolver nos educandos habilidades como: incentivo a leitura, a capacidade crítica, e também habilidades específicas de comportamento durante situações de insegurança, que são constantes em nossa vida diária.

Roteiro de Trabalho para a Aplicação da Modelagem Matemática em Sala de Aula
É extramente importante que os alunos compreendam a necessidade de seguir um roteiro de trabalho para a realização da pesquisa em modelagem matemática. Cada etapa é importante para a implementação e conclusão do projeto. Dessa forma, o trabalho de acompanhamento e orientaçao dos alunos pelo professor é de fundamental importância. Assim sendo, as principais etapas a serem seguidas são as seguintes:

· Escolha do tema.

· Justificativa da escolha do tema.

· Objetivos principais e específicos inerentes ao tema.

· Breve histórico sobre aspectos curiosos, importantes e interessantes, relacionados ao tema.

· Questão central ou questão orientadora que aborde de maneira geral o tema.

· Aspectos matemáticos relevantes para responder a questão central.

· Formulação do problema, com o levantamento de hipóteses e variáveis.

· Possíveis modelos matemáticos relacionados ao tema.

· Solução dos modelos matemáticos propostos.

· Validação ou teste do modelo matemático.

· Busca das informações ( internet, museus, bibliotecas).

· Arquivo das informações (filmagem, gravação, digitação).

· Metodologia e estratégia para desenvolver a pesquisa (entrevistas diretas, visitas às indústrias e estabelecimentos públicos).

· Cronograma de trabalho, com a indicação do tempo previsto para a realização de cada etapa.

· Conclusão ou Parecer sobre o processo (etapas inicial, intermediária e final).

· Bibliografia e Referências bibliográficas.

Assim, a modelagem matemática fundamenta-se na ampliação da autonomia do aluno e na aproximação da sua realidade com a matemática, propiciando a leitura e a ampliação da visão de mundo e o desenvolvimento do pensamento autônimo , contribuindo para o exercício pleno da cidadania. Podemos afirmar que a etnomatemática como programa de ação pedagógica e a modelagem matemática como metodologia de ensino está construindo o seu espaço de ação, impondo-se de modo sério, sistemático e abrangente. Este program procura refletir sobre as experiências e acontecimentos culturais e sociais, procurando compreendê-los e interpretá-los, tecendo conexões com a realidade que dão legitimidade à ação pedagógica. Com este procedimento, este programa atribui siginificados que esclarecem o contexto sócio-cultural, situando-o na história e permitindo uma ação que refletirá uma intelectualidade autônoma e transformadora. A meta desse programa é levar à comunidade de educadores matemáticos, o conhecimento que está sendo construído nessa área, para que em conjunto todos possamos participar da construção do saber matemático dos nossos alunos.

Exemplos práticos de aplicação da modelagem matemática
Modelagem Matemática e o Planeta Terra

Introdução

A Terra é o terceiro planeta em distância a partir do Sol e o quinto em diâmetro do sistema solar. Possui um satélite natural, a Lua. Formada há cerca de 4,6 bilhões de anos, é o único planeta que dispõe de grande quantidade de oxigênio na atmosfera. Em rela ção à distância ao Sol, ocupa posição privilegiada quanto à temperatura, o que facilita a evolução da vida. Por causa da grande presen a da água, o planeta tem o aspecto de um globo azulado. A Terra é formada basicamente por quatro camadas: crosta, manto, núcleo e núcleo interno. Possui o movimento de rota ção em torno de seu pr›prio eixo, no sentido leste-oeste com dura ção de cerca 23h56min4s. O movimento de translação é feito ao redor do Sol e tem a dura ção de 365dias5h48min45,97s, e origina o ano.

A Terra é azul

"A Terra é azul" foi a frase emocionada dita pelo astronauta Yuri Gagarin em 1961, quando vislumbrou do interior de sua nave, a esfera Terra, solta no espaço, na primeira viagem espacial tripulada e comandada pela União Soviética. Se ao invés do comentário sobre a cor do planeta, ele tivesse dito " A Terra é arredondada” não estaria afirmando nenhuma novidade para o século XX. Porém, causaria muito espanto se tivesse dito esta frase na antiguidade, aos babilônios, egípcios ou hindus, pois para esses povos e para muitos outros, a idéia que faziam da Terra era bastante diferente e variável.

Para os babilônios, a Terra era uma montanha oca, sustentada e rodeada pelo mar. Em seu interior situava-se o reino dos mortos. O Sol, a Lua e as estrelas se moviam num sólido firmamento que estava inserido num arco sobre a Terra.

Os egípcios imaginaram a Terra como o deus Keb reclinado, coberto de vegetação e o céu como uma deusa graciosamente encurvada e sustentada no alto pelo deus da atmosfera. O deus Sol era dois barcos que navegavam diariamente pelo firmamento até penetrar na noite da morte.

Os hindus tinham várias visões diferentes sobre a Terra. Uma de suas tribos acreditava que a Terra era sustentada por elefantes, cujos movimentos causavam terremotos. Os elefantes ficavam sobre uma tartaruga, encarnação do Deus Vixnu, o qual descansava sobre uma cobra, símbolo da água.

A hipótese de que a Terra e os demais corpos celestes são esféricos e se movimentam em órbitas circulares foi levantada pelo grego Pitágoras e pelos pitagóricos no século VI a.C.. No início do século XVII, Galileu Galilei (1564-1642) pôs em dúvida a hipótese da esferecidade da Terra. No final deste mesmo século, Newton (1641-1726) afirmava que a Terra era achatada nos polos e não perfeitamente esférica, como os grandes cientista imaginavam.

A esfera

A esfera é um sólido presente na história do homem desde os tempos mais remotos. Por volta do ano 2600 antes de Cristo, os chineses jogavam o "kemari", praticado com uma bola de fibra de bambu. Na literatura grega e romana, há referências sobre jogos com bolas feitas com bexigas de boi infladas que divertiam os jovens da época. Na Grécia antiga os jogos eram chamados "epyskiros" e no Império Romano "harpastum". Na Idade Média, os habitantes da Floren a na Itália, praticavam o "gioco del calcio" chutando uma bola pelas ruas. O mesmo fazem os ingleses no "Shrovetide" festa que relembra a explusão dos dinamarqueses da Inglaterra, ocorrida no século XII.

Arquimedes, um geômetra grego que viveu em Siracusa no período de 287-212 antes de Cristo, pediu que fosse esculpida em seu túmulo uma representação de uma esfera inscrita num cilindro reto. Dentre todos os modelos matemáticos presentes em sua vasta obra , ele dizia preferir o tratato "Sobre a esfera e o cilindro."

O orador e filósofo romano Marcus Tullius Cícero que viveu no período de 106-43 antes de cristo, encontrou o túmulo abandonado de Arquimedes na Sicilia e proferiu estas palavras:

Ali, entre os arbustos, na campina de Siracusa, encontrava-se uma pequena coluna, encimada por uma esfera, inscrita em um cilindro. A epígrafe estava quase apagada mas, eu sabia que aquela escultura devia estar sobre a tumba de Arquimedes.

O cilindro e o cone podem ser obtidos através de moldes feitos em uma folha de papel, ou seja, eles podem ser planificados. A esfera, porém, não pode ser assim obtida, pois não pode ser planificada. Essa é uma das evidências da dificuldade de se reproduzir num mapa, as regiões do globo terrestre.

A esfera pode ser gerada pela rotação completa de um semi-círculo em torno do diâmetro. Nesse movimento, cada ponto do semi-círculo descreve uma circunferência que tem por centro um ponto do diâmetro AB e cujo raio é tanto maior quanto maior é a sua distância do eixo. Da forma como é gerada, todos os pontos da superfície esférica são igualmente distantes do centro O da esfera.

Vamos abandonar esta imensa esfera terrestre e tomemos por base um minúsculo planeta esférico de nome "Zilia", habitado por um único habitante chamado "Zil", semelhante ao idealizado por Exupèry, em sua obra prima "O Pequeno Príncipe". Neste planeta, existem também uma rosa que é a paixão de "Zil", e um vulcão que precisa ser revolvido de tempos em tempos.

Modelo Matemático

Hipótese: De acordo com a geometria tradicional (euclidiana), numa superfície plana, a reta é a distância mais curta entre dois pontos. Considerando, para efeitos didáticos e pedagógicos que a forma do planeta Terra é perfeitamente esférica, será a reta a distância mais curta tomada entre dois pontos quaisquer sobre a superfície terrestre?

Dessa maneira, querendo passar da teoria à prática,"Zil" resolveu marcar de algum modo, o caminho mais curto, que o levasse diariamente, de sua casa até a rosa. Utilizando-se de pregos trazidos do planeta Terra, que pareciam enormes em "Zilia", "Zil" esticou um pedaço de barbante, de sua casa ao canteiro da rosa, esperando obter uma reta, idêntica às retas que vira desenhadas em seus livros de geometria. Chegando até a rosa, "Zil" lembrou-se de ter lido também que a reta podia ser prolongada infinitamente e isto deixou-o intrigado, pois ficou imaginando o que haveria no "infinito" de seu planeta. Dessa forma, ele amarrou o barbante no prego que ficava no canteiro da rosa e esticando o barbante que sobrou, continuou andando em linha reta o caminho que o levasse de volta à sua casa. Após algum tempo, para a surpresa de "Zil", ele estava de volta à sua própria casa. "Zil" observou que levara menos tempo do canteiro da rosa à sua casa, do que de sua casa ao canteiro da rosa. "Zil" ficou momentaneamente confuso e sem resposta, pois começou a se questionar sobre o que tinha aprendido nos livros de que a reta é o menor caminho a ser percorrido entre dois pontos.

Com a curiosidade aguçada sobre este questionamento, "Zil" não desistiu de seu intento e no dia seguinte começou a elaborar outro caminho. Ele procedeu da seguinte maneira:

a) Foi de sua casa ao canteiro da rosa utilizando o caminho de volta do dia anterior, que tinha sido o mais curto.

b)Chegando ao canteiro da rosa caminhou na direção do vulcão.

c)Chegando ao vulcão caminhou de volta para a casa.

Enquanto fazia estes trajetos "Zil" pensou que tinha feito um trajeto parecido com os triângulos que tinha estudado nos livros.


Havia muitos recantos interessantes e bonitos no pequeno planeta "Zilia" e a cada passeio que "Zil" fazia, ele registrava esses caminhos marcando-os com barbantes.



Um dia, surgiu um cometa em seu planeta e "Zil" de carona na cauda do cometa, começou a passear no espaço, indo para outros mundos. Este dia foi muito especial, pois finalmente poderia ver o seu planeta do alto, enfeitado de retas, triângulos e outras figuras que ele fizera com os barbantes.

"Zil" porém ficou muito surpreso com o que viu, pois no lugar de retas havia cørculos e arcos de circunferência. O triângulo que ele viu era diferente dos que estavam desenhados nos livros, pois não tinham os lados retos.

Assim, ele começou a se questionar sobre o que estava acontecendo com a geometria de seu planeta. Ansioso e querendo compreender o que estava acontecendo, o cometa levou "Zil" mais uma vez ao planeta Terra. Como "Zil" era de outro planeta, ele conseguia ver o que era imaginário e conseguia descobrir coisas incríveis. Dessa forma, diferentemente das outras vezes, "Zil" resolveu prestar atenção nas linhas que os homens chamavam de linhas imaginárias.

"Zil" compreendeu que as linhas imaginárias eram círculos de raios variáveis e de mesmo centro, ou melhor, de mesmos centros, pois os pontos N, situado no Polo Norte e S situado no Polo Sul, poderiam ser centros de tais círculos, uma vez que todos os pontos de cada círculo possuem a mesma distância de N e de S. "Zil" descobriu que os habitantes da Terra chamam de Equador ao maior desses círculos. Observando o planeta Terra, ele também ficou fascinado quando percebeu que se três pessoas resolvessem caminhar indefinidamednte, uma através da linha do Equador, outra sobre o Trópico de Câncer e outra pelo Trópico de Capricórnio, elas jamais se encontrariam. Neste momento, a idéia de retas paralelas que "Zil" possuia se ampliava. Ele aprendeu que na superfície da Terra, há um conjunto infinito de círrculos, paralelos, que têm os "polos" Norte (N) e Sul (S), como centros. "Zil" come ou a raciocionar e com a possibilidade que tinha em visualizar o imaginário, ele escolheu outros pontos como centro e pode ver outros conjuntos de círculos paralelos. Brincando com a sua imaginação, ele começou a enxergar quadrados e triângulos, só que diferentes dos tradicionais que são feitos com régua. Dessa forma, "Zil" percebeu que a geometria do planeta Terra é muito parecida com a geometria do planeta "Zilia" e um pouco diferente da geometria que estudou nos livros importados da Terra.

Conclusão:

A realização de um experimento interessante utilizando esferas de isopor e barbantes, possibitou a construção de modelos que representaram a situações experimentadas na aventura de "Zil". Dessa maneira, com as observações efetuadas e com as pesquisas realizadas, pudemos formular a conclusão que descrevemos.

Numa superfície plana, a reta é a menor distância que existe entre dois pontos. Porém, se considerarmos que vivemos num espa o curvo, num planeta que não possui a forma plana, a menor distância entre dois pontos que são selecionados na superfície terrestre é um arco de circunferência. Devemos entender que além da geometria tradicional, chamada de euclidiana, existe também a geometria não-euclidiana, que concebe as formas com mais dimensões do que as conhecidas por nossa percepçao, e para conter essas formas, os espa os são imaginados com infinitas dimensões. Segundo Johan Karl Friedrich Gauss (1777-1855), que foi o primeiro matemático a formular idéias sobre a geometria não-euclidiana, o espa o não precisa ser necessariamente imaginado em linhas retas, pois se uma reta é definida apenas pela sua extensão, nada a impede de ser curva. Assim sendo, se uma superfície é definida pelas dimensões comprimento e largura, também poderia ser curva. O mesmo raciocínio valeria para um espaço definido pelas dimensões comprimento, altura e largura. A idéia de espaços curvos é desenvolvida pelo matemático russo Nikolai Lobacheviski (1792-1856) em 1826 e aperfeiçoada em 1854 pelo matemático alemão Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), discípulo de Gauss, que também concebe espaços com quatro ou mais dimensões.

Considerações Finais

Os projetos propostos têm como fundamento a compreensão e o entendimento da realidade e do grupo cultural nos quais os alunos estão inseridos. Dessa maneira, os alunos podem pensar, refletir, analisar e agir sobre essa mesma realidade. Ao emprestarmos da realidade os sistemas nela existentes, passamos a estudá-los simbolicamente e sistematicamente. Neste contexto, emprega-se o programa etnomatemática, utilizando como instrumentos a modelagem matemática e os seus modelos. Dessa forma, pode-se atingir o mundo real com a utilização do mundo imaginário, empregando-se conceitos do mundo matemático para a solução de problemas abstratos. Compreende-se que a utilização do programa etnomatemática fornece as ferramentas necessárias para que os grupos culturais possam captar as mensagens que são transmitidas pelo mundo real. Assim, modelando os sistemas que são extraídos da realidade, desperta-se nos alunos a vontade de compreender as relações existentes entre a natureza, a cultura e a intervenção humana sobre esses sistemas. Dessa maneira, a partir desta reflexão, os alunos conseguem perceber a realidade em sua totalidade.

O programa etnomatemática também possui um caráter interdisciplinar. Assim, este programa exige a participação de professores de diferentes áreas do conhecimento para o encaminhamento dos projetos e orientação dos alunos. É de fundamental importância para o sucesso do programa e o desenvolvimento intelectual dos alunos que esta participação ocorra de modo efetivo. Dessa forma, esse aspecto procura garantir o interesse dos alunos pela iniciação científica na área matemática, pois a partir do envolvimento na pesquisa de temas variados, incentiva-se a evolução da investigação e da aprendizagem em matemática.

Espera-se que durante este processo, educandos e professores adquiram e desenvolvam de maneira semelhante o senso crítico, isto é, uma forma de cidadania baseada no entendimento e na igualdade. Este processo de pesquisa é formulado para dar aos pesquisadores experiências em tornarem-se cidadãos e profissionais críticos. Este aspecto do aprendizado é muito imporante pois contribui para acelerar o processo de transformação social. Este processo é também de vital importância na resolução de problemas e desafios que estão presentes em nossas comunidades.

A falta de uma consciência crítica na educação escolar tem criado uma distinta dissociação para os alunos entre os que eles estão aprendendo nas salas de aula e o que eles observam no mundo real. Os alunos, muitas vezes passivos, solucionam problemas que não fazem parte da vida pessoal, da realidade ou da sociedade em que estão inseridos. Rapidamente e facilmente eles perdem a habilidade em prestar atenção e participar dos desafios que estão acontecendo na comunidade.Em outras palavras, as atividades matemáticas estão em perigo se não tiverem uma mínima utilidade real para os alunos. O que este modelo pode facilmente realizar é engajar os alunos a verem o valor e a utilidade do que eles aprenderam em matemática pelo desenvolvimento de uma posição crítica que suporte diferentes propostas na resolução Este processo afirma que historicamente os métodos de se fazer matemática, de resolver problemas, foi oferecido por muito tempo pela cultura dominante. Também afirma que aprender a valorizar diversas e alternativas maneiras de resolver problemas é uma das mais altas formas do desenvolvimento intelectual para todos os indivíduos.




Bibliografia

BASSANEZI, R. (1994). Modeling as a Teaching-Learning Strategy. For the Learning of Mathematics, 14 (p.31-35).

BRUNER, Jerome S. O Processo da educação. Trad. Lobo L. de Oliveira. São Paulo: Nacional, 1974.

BRUNER, Jerome S. Uma nova teoria de aprendizagem. Rio de Janeiro: Editora Bloch, 1976.

CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa: Brás Monteiro, 1975.

CARRAHER, T.N., CARRAHER, D.N., SCHLIEMANN, A D. Na vida dez, na escola zero. São Paulo: Cortez, 1989.

CASTELNUOVO, Emma. Didática de la matemática moderna. Trad. Felipe Robledo Vázques. México, 1973.

D’AGOSTINE, Charles H. Métodos Modernos para o ensino da matemática. Trad. Maria Lúcia F. E. Peres. Rio de Janeiro: Ao livro Técnico, 1984.

D’AMBROSIO, Ubiratan. Etnomatemática se ensina? BOLEMA: Boletim de Educação Matemática. Ano 3. N. 4. Rio Claro S.P., 1988. P. 13 – 16.

D’AMBROSIO, Beatriz S. Como ensinar matemática hoje? TEMAS E DEBATES. SBEM. Ano II. N2. Brasilia. 1989. P. 15-19.

D’AMBROSIO, Ubiratan. Da realidade à ação: reflexões sobre a educação (e) matemática. São Paulo. Summus Editorial, 1988.

D’AMBROSIO, U. (1993). Etnomatemática: um programa a educação matemática. Revista da Sociedade Brasileira de Educação Matemática. Blumenau: SBEM, Ano 1 (p. 5- 11).

D’AMBROSIO, U. (1990). Etnomatemática . São Paulo: Editora Atica.

DIENES, Z.P. Aprendizado Moderno da Matemática. Rio de Janeiro: Zahar Editores, 1974.

DIENES, Z.P. As seis etapas do processo de aprendizagem em matemática. São Paulo: Herder, 1972.

FREIRE, Paulo. Pedagogia do Oprimido. São Paulo: Editora Paz e Terra S/A 1970. 19 edição.

KAMII, Constance; DECLARK, Georgia. Young Children Reinvent Arithmetic. Teachers College Press. 1985.

MACHADO, Nilson José. Matemática e Língua Materna: Análise de uma impregnação mútua. São Paulo: Cortez Editora, 1990.

NIDELCOFF, MARIA Teresa. A Escola e a Compreensão da Realidade: Ensaio sobre a Metodologia das Ciências Naturais. Trad. Marina C. Celidônio. São Paulo: editora brasiliense, 1990.

OREY, D., Rosa, M. (2000) Ethnomathematics as Pedagogical Action. Manuscrito não publicado.

OREY, D. (2000). Chapter. "Geometry of the Tipi and Cone: Using Mathematical Modelagem as Applied Etnomatemática" in Mathematics Across Cultures: the History of Non-Western Matemática. (Selin, H. Ed.). Dordrecht, Netherlands: Kulwer Academic Publishers.

OREY. (1999, August). "Fulbright Ethnomathematics in Brazil." International Study Group on Etnomatemática Newsletter. Las Cruces: ISGEm.

OREY. (1998). "Jeito: on the doing of ethnomathematics ". Chapter in Krebs, R. J., Copetti, F., and Beltrame, T. S. (Eds.). Discutindo o Desenvolvimento Infantil ­ Livro Annual ­ 1998. Santa Maria, RS, Brasil: SIEC.

OREY. (1998, January). "Mathematics for the 21st Century." In: Teaching Children Matemática, 4(5). Reston, VA: National Council of Professores of Matemática.

OREY. (1996). "Linking pre-service teachers and mathematical reform." CMC Communicator, 20, (4).

OREY. (1989). "Ethnomathematical perspectives on the NCTM Standards." International Study Group on Etnomatemática Newsletter. (5) 1. P. 5-7.

OREY. (1987). "Logo programming language in a Mexican primary school: relationships to cognition, geometric skills, and computer attitudes." In L. Takeuchi, Proceedings of the University Association of Pesquisa Scholars. Sacramento: CSUS.

OREY. (1982). "Mayan Math." The Oregon Mathematics Teacher. Portland, OR.

ROSA, M.; Silva, C. M.; Beraldo, R. M. N.; Vialta, R.; & Del Conti, M. I. A., (1999). Café: etnomatemática e modelagem. Pontifícia Universidade Católica em Campinas, São Paulo. Monografia de especialização em educação matemática não publicada.

ROSA, M. (2000). From Reality to Mathematical Modeling: A Proposal for Using ethnomathematical Knowledge. California State University, Sacramento, Califórnia. Tese de mestrado não publicada.

SOUZA, Júlio Cesar Mello (Malba Tahan). Matemática divertida e curiosa. Rio de Janeiro. Distribuidora Record de Serviços de Imprensa S/A. 1991.

ZARO, Milton; HILLEBRAND, Vicente. Matemática Experimental. São Paulo: Ed. Ática. 1990.